Přejít k obsahu


Adaptivní metody konečných objemů pro zákony zachování mechaniky tekutin

Citace: [] EGERMAIER, J. Adaptivní metody konečných objemů pro zákony zachování mechaniky tekutin. Plzeň : Západočeská univerzita, 2009, 97 s.
Druh: KNIHA
Jazyk publikace: cze
Anglický název: Adaptive finite volume methods for conservation laws of fluid mechanics
Rok vydání: 2009
Místo konání: Plzeň
Název zdroje: Západočeská univerzita
Autoři: Ing. Jiří Egermaier Ph.D.
Abstrakt CZ: Disertační práce se zabývá numerickým řešením zákonů zachování a bilančních vztahů, kterými jsou popsány především úlohy z oblasti mechaniky tekutin. Konkrétně se jedná o modely popisující proudění v mělkých vodách a proudění v radiálně symetrické elastické trubici. Modely jsou popsány v kapitole 2 a jsou založeny na soustavách parciálních diferenciálních rovnic hyperbolického typu (proudění v mělkých vodách je popsáno Saint-Venantovými rovnicemi). Z důvodu jejich použití je v kapitole 3 věnována pozornost teoretickým základům řešení těchto rovnic, mimo jiné je zde definováno silné a slabé řešení. Velká část této kapitoly je také věnována vlastnostem metod konečných objemů, jako jsou konzervativita, konzistence a stabilita. V kapitolách 4 a 5 jsou popsány základní metody pro řešení homogenních hyperbolických rovnic. V kapitole 4 jsou to metody typu upwind, které jsou založeny na řešení speciální úlohy s nespojitou počáteční podmínkou, které říkáme Riemannův problém. Je popsáno jeho přesné i přibližné řešení. Jednou z metod pro řešení přibližného Riemannova problému je Roeův řešič, který je základem i pro sestavení dalších metod. V kapitole 5 jsou představeny a odvozeny centrální metody, Laxova-Friedrichsova a Laxova-Wendroffova, ve zbylé části metoda typu central-upwind, která je základem pro metodu na řešení nehomogenní úlohy. Metody na řešení bilančních vztahů se zdrojovým členem jsou konstruovány v kapitole 6, která je hlavním zdrojem nových poznatků a přínosů disertační práce. Metoda typu central-upwind je rozšířena o aproximaci zdrojového členu, který je v případě Saint-Venantových rovnic sestaven tak, aby metoda udržela speciální ustálený stav "klid v jezeře". Nově je sestavena metoda typu upwind pro úlohu proudění v močové trubici, která je založena na rozšíření soustavy rovnic a vektoru neznámých o tokové funkce a funkce, jejichž derivace jsou obsaženy ve zdrojových členech. Řešení je pak založeno na rozkladu aproximace Jacobiho matice této soustavy a díky speciální diskretizaci vlastních vektorů je zaručena pozitivní semidefinitnost metody a udržení obecných ustálených stavů. V závěru kapitoly je ještě diskutována otázka řešení úloh zahrnujících vliv tření a vazkosti přidáním dalších zdrojových členů. Je zpracováno zahrnutí těchto zdrojových členů do řešení pomocí implicitních a explicitních metod včetně popisu výhod a nevýhod zvoleného postupu. Kapitola 7 rozšiřuje metody z kapitoly 6 pro použití na řešení úlohy dvourozměrného proudění v mělkých vodách. V metodě central-upwind je zvolena speciální rekonstrukce neznámé funkce, umožňující robustní a rychlé řešení i problémů se suchými stavy a zajištění pozitivní semidefinitnosti metody. U metody rozšířené soustavy je ukázáno, které ustálené stavy jsou udrženy a také speciální postup při řešení suchých stavů. V závěru kapitoly je diskutována efektivní implementace metod s ohledem na relativní množství zaplavených buněk v oblasti, kde úlohu řešíme. V závěru práce jsou představeny některé numerické experimenty a shrnutí dosažených výsledků. Z experimentů je patrné, že obě metody poskytují srovnatelná řešení a jsou použitelné pro širokou oblast úloh. Metoda central-upwind je ve své základní podobě robustnější a pracuje rychleji než metoda rozšířené soustavy. Ta je ovšem vhodná pro úlohy, ve kterých lze očekávat i obecnější ustálená řešení.
Abstrakt EN: The dissertation thesis deals with the numerical solution of conservation laws. These laws are used for describing hydromechanics problems especially shallow water flow and fluid flow through the radial symmetric elastic tube. These models are detailed in chapter 2 and they are based on the systems of hyperbolic partial differential equations (shallow water flow is described by Saint-Venant equations). Therefore the chapter 3 takes care of theory of hyperbolic equations. The exact and weak solution are defined among others. The main part of this chapter describes the properties of finite volume methods like conservation, consistency and stability. The basic methods for solving conservation laws are introduced in the chapters 4 and 5. The upwind methods (chapter 4) are based on solution of special problem with discontinuous initial condition called Riemann problem. The exact and approximate solution of this problem is presented too. One of the approximate Riemann solvers is Roe's solver, which is the base for construction of the other methods. The central methods, like Lax-Friedrichs and Lax-Wendroff methods, are derived in the chapter 5. There is also constructed the central-upwind method, that is the background for the method for solution of non-homogenous problem. The methods for solving balanced laws with the source terms are constructed in the chapter 6. Therefore this chapter is the main source of the new knowledge and contributions of the dissertation thesis. The central-upwind method is extended by the approximation of the source terms constructed so that the method preserves special steady state "rest at lake" (in the case of Saint-Venant equations). There is also presented new construction of upwind method for the problem of fluid flow through the male urethra based on augmented system, where the unknown function contains flux function and derivative functions of the source terms. Then the solution is based on decomposition of the approximate Jacobian matrix of this system. Positive semidefiniteness and preserving general steady states is guaranteed by the special discretization of the eigenvectors. The end of this chapter is concerned with the systems with viscosity and fractional terms. It is developed inclusion of these terms to the solution by implicit and explicit schemes and they are discussed advantages and disadvantages of the specific choice. The modification of methods for solving of two-dimensional case of shallow water flow is presented in the chapter 7. The central-upwind method uses specific reconstruction of unknown functions which makes possible very robust and fast computing including solution of dry states problems. At the same time the method is positive semidefiniteness. There are also detailed the steady states preserving by the method of augmented system and special procedure for solving dry states problem. At the end of the chapter there is discussed effective implementation of the methods in the view of relative amount of dry areas. Finally there are introduced some numerical experiments and summary of obtained results. It can be seen that the both methods give similar results and they are suitable for many problems. The central-upwind method is robustness and faster then the method of augmented system. The method of augmented system is very efficient for problems with more general steady states.
Klíčová slova

Zpět

Patička