Přejít k obsahu
﻿

### Generalized trigonometric functions in complex domain

 Citace: GIRG, P., KOTRLA, L. Generalized trigonometric functions in complex domain. Mathematica Bohemica, 2015, roč. 140, č. 2, s. 223-239. ISSN: 0862-7959 ČLÁNEK eng Generalized trigonometric functions in complex domain 2015 Doc. Ing. Petr Girg Ph.D. , Ing. Lukáš Kotrla , V článku je studováno rozšíření $p$-trigonometrických funkcí $\sin_p$ and $\cos_p$ do komplexního oboru. V našem článku Girg, Kotrla (2014) jsme ukázali, že funkce $\sin_p(x)$ je reálná analytická funkce pro $p=4, 6, 8, \dots$ na $(-\pi_p/2, \pi_p/2)$, kde $\pi_p/2 = \int_0^1(1-s^p)^{-1/p}$. Její Maclaurinova řada umožňuje rozšířit tuto funkci na komplexní disk $\{z\in\mathbb{C}\colon|z|<\pi_p/2\}$. Otázka je, zda tato funkce splňuje původní diferenciální rovnici uvažovanou v komplexním oboru. Tato otázka byla autorům položena O. Došlým po prezentaci na konferenci Nonlinear Analysis 2013 Plzeň. V článku na tuto otázku odpovídáme kladně a navíc studujeme situaci i v dalších celočíselné hodnoty $p>3$. We study extension of $p$-trigonometric functions $\sin_p$ and $\cos_p$ to complex domain. For $p=4, 6, 8, \dots$, the function $\sin_p$ satisfies the initial value problem which is equivalent to $$-(u')^{p-2}u"-u^{p-1} =0, \quad u(0)=0, \quad u'(0)=1 \leqno(*)$$ in $\mathbb{R}$. In our recent paper, Girg, Kotrla (2014), we showed that $\sin_p(x)$ is a real analytic function for $p=4, 6, 8, \dots$ on $(-\pi_p/2, \pi_p/2)$, where $\pi_p/2 = \int_0^1(1-s^p)^{-1/p}$. This allows us to extend $\sin_p$ to complex domain by its Maclaurin series convergent on the disc $\{z\in\mathbb{C}\colon|z|<\pi_p/2\}$. The question is whether this extensions $\sin_p(z)$ satisfies (*) in the sense of differential equations in complex domain. This interesting question was posed by Došlý and we show that the answer is affirmative. We also discuss the difficulties concerning the extension of $\sin_p$ to complex domain for $p=3,5,7,\dots$ Moreover, we show that the structure of the complex valued initial value problem (*) does not allow entire solutions for any $p\in\mathbb{N}$, $p>2$. Finally, we provide some graphs of real and imaginary parts of $\sin_p(z)$ and suggest some new conjectures.

Zpět