Přejít k obsahu


Lyusternik--Graves Theorems for the Sum of a Lipschitz Function and a Set-valued Mapping

Citace:
CIBULKA, R., DONTCHEV, A. L., VELIOV, V. M. Lyusternik--Graves Theorems for the Sum of a Lipschitz Function and a Set-valued Mapping. SIAM Journal on Control and Optimization, 2016, roč. 54, č. 6, s. 3273-3296. ISSN: 0363-0129
Druh: ČLÁNEK
Jazyk publikace: eng
Anglický název: Lyusternik--Graves Theorems for the Sum of a Lipschitz Function and a Set-valued Mapping
Rok vydání: 2016
Autoři: Ing. Radek Cibulka Ph.D. , prof. Asen L. Dontchev , prof. Vladimir M. Veliov
Abstrakt CZ: Graves ve svém článku z roku 1950 dokázal, že zobrazení f mezi Banachovými prostory, které je definované v okolí referenčního bodu x a pro které existuje spojitý lineární operátor A takový, že lipschitzovský modulus rozdílu f-A v referenčním bodě x je dostatečně malý, je otevřené v bodě x s lineárním řádem. Jedná se o zobecnění Banachovy věty o otevřeném zobrazení pro spojitý lineární operátor na lipschitzovsky spojité funkce. Podobný výsledek, pro případ hladkého zobrazení, byl dokázan dříve Lyusternikem. V článku je dokázána Lyusternikova-Gravesova věta pro zobrazení f+F, kde f je lipschitzovsky spojitá funkce na okolí bodu x a F je mnohoznačné zobrazení. Jsou prezentovány podmínky zajišťující, že zobrazení f + F je otevřené s lineárním řádem za předpokladu, že pro každý prvek A z určité množiny spojitých lineárních operátorů je zobrazení f(x) +A(. - x) + F otevřené s lineárním řádem v bodě x pro y. Pokud F je identicky nulové, dostáváme jakožto důsledek Gravesovu větu, věty o otevřeném zobrazení Pourciaua a Pálese, a větu o otevřeném zobrazení pro zobrazení s omezující množinou Cibulky a Fabiana. Dále pak dostáváme také větu o inverzní funkci pro nehladká zobrazení dokázanou nedávno Cibulkou a Dontchevem. V závěru je prezentována aplikace na Nemytského operátory a jistá zobrazení z teorie řízení.
Abstrakt EN: In a paper of 1950 Graves proved that for a function f acting between Banach spaces and an interior point x in its domain, if there exists a continuous linear mapping A which is surjective and the Lipschitz modulus of the difference f-A at x is sufficiently small, then f is (linearly) open at x. This is an extension of the Banach open mapping principle from continuous linear mappings to Lipschitz functions. A closely related result was obtained earlier by Lyusternik for smooth functions. In this paper, we obtain Lyusternik--Graves theorems for mappings of the form f+F, where f is a Lipschitz continuous function around x and F is a set-valued mapping. Roughly, we give conditions under which the mapping f+F is linearly open at x for y provided that for each element A of a certain set of continuous linear operators the mapping f(x) +A(. - x) + F is linearly open at x for y. In the case when F is the zero mapping, as corollaries we obtain the theorem of Graves as well as open mapping theorems by Pourciau and Páles, and a constrained open mapping theorem by Cibulka and Fabian. From the general result we also obtain a nonsmooth inverse function theorem proved recently by Cibulka and Dontchev. Application to Nemytskii operators and a feasibility mapping in control are presented.
Klíčová slova

Zpět

Patička